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配点 : 1700 点
問題文
国際ユークリッドの互除法オリンピックの主催者であるけぬすくんは、 オリンピックをより面白くするため、2 数のペアに対してユークリッドの互除法を走らせたとき、反復回数ができるだけ大きくなるようなペアを探しています。
Q 個のクエリが与えられます。i 個目のクエリは、2 つの整数 X_i,Y_i で表され、 1 ≦ x ≦ X_i, 1 ≦ y ≦ Y_i なるような (x,y) のペアの中での、ユークリッドの互除法の反復回数の最大値と、その最大値をとるペアの個数を 10^9+7 で割ったあまりを求めるクエリです。
全てのクエリに答えてください。ただし、ユークリッドの互除法の反復回数とは、任意の非負整数 a,b に対し、
- (a,b) と (b,a) の反復回数は等しい
- (0,a) の反復回数は 0
- a > 0 かつ a ≦ b なら、整数 p,q (0 ≦ q < a) を用いて b を b=pa+q と一意的に表したとき、(q,a) の反復回数に 1 を加えた値が (a,b) の反復回数となる
を満たすように定義されます。
制約
- 1 ≦ Q ≦ 3 × 10^5
- 1 ≦ X_i,Y_i ≦ 10^{18}(1 ≦ i ≦ Q)
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
Q X_1 Y_1 : X_Q Y_Q
出力
各クエリに対し、ユークリッドの互除法の反復回数の最大値と、最大値を取るペアの個数を 10^9+7 で割ったあまりを空白区切りで出力せよ。
入力例 1
3 4 4 6 10 12 11
出力例 1
2 4 4 1 4 7
1 つ目のクエリでは、(2,3),(3,2),(3,4),(4,3) のユークリッドの互除法の反復回数が 2 回です。3 回以上反復が必要な組はありません。
2 つ目のクエリでは、(5,8) のユークリッドの互除法の反復回数が 4 回です。
3 つ目のクエリでは、(5,8),(8,5),(7,11),(8,11),(11,7),(11,8),(12,7) のユークリッドの互除法の反復回数が 4 回です。
入力例 2
10 1 1 2 2 5 1000000000000000000 7 3 1 334334334334334334 23847657 23458792534 111111111 111111111 7 7 4 19 9 10
出力例 2
1 1 1 4 4 600000013 3 1 1 993994017 35 37447 38 2 3 6 3 9 4 2
Score : 1700 points
Problem Statement
Kenus, the organizer of International Euclidean Olympiad, is seeking a pair of two integers that requires many steps to find its greatest common divisor using the Euclidean algorithm.
You are given Q queries. The i-th query is represented as a pair of two integers X_i and Y_i, and asks you the following: among all pairs of two integers (x,y) such that 1 ≤ x ≤ X_i and 1 ≤ y ≤ Y_i, find the maximum Euclidean step count (defined below), and how many pairs have the maximum step count, modulo 10^9+7.
Process all the queries. Here, the Euclidean step count of a pair of two non-negative integers (a,b) is defined as follows:
- (a,b) and (b,a) have the same Euclidean step count.
- (0,a) has a Euclidean step count of 0.
- If a > 0 and a ≤ b, let p and q be a unique pair of integers such that b=pa+q and 0 ≤ q < a. Then, the Euclidean step count of (a,b) is the Euclidean step count of (q,a) plus 1.
Constraints
- 1 ≤ Q ≤ 3 × 10^5
- 1 ≤ X_i,Y_i ≤ 10^{18}(1 ≤ i ≤ Q)
Input
The input is given from Standard Input in the following format:
Q X_1 Y_1 : X_Q Y_Q
Output
For each query, print the maximum Euclidean step count, and the number of the pairs that have the maximum step count, modulo 10^9+7, with a space in between.
Sample Input 1
3 4 4 6 10 12 11
Sample Output 1
2 4 4 1 4 7
In the first query, (2,3), (3,2), (3,4) and (4,3) have a Euclidean step count of 2. No pairs have a step count of more than 2.
In the second query, (5,8) has a Euclidean step count of 4.
In the third query, (5,8), (8,5), (7,11), (8,11), (11,7), (11,8), (12,7) have a Euclidean step count of 4.
Sample Input 2
10 1 1 2 2 5 1000000000000000000 7 3 1 334334334334334334 23847657 23458792534 111111111 111111111 7 7 4 19 9 10
Sample Output 2
1 1 1 4 4 600000013 3 1 1 993994017 35 37447 38 2 3 6 3 9 4 2